描述性统计是对数据集的基本特征进行概括和描述的统计方法。它主要用于总结和展示数据的集中趋势、离散程度、分布形状等特性，能够帮助我们快速理解数据的基本情况，是数据分析的基础步骤。
集中趋势的描述性统计
均值（Mean）
- 定义：将所有数据相加后除以数据的个数。例如，对于数据集(x = {1, 2, 3, 4, 5})，均值(\bar{x}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5}=3)。
- 用途：用于描述数据的中心位置，适用于数据分布较为对称的情况，在分析总体水平时常用。例如，计算班级学生的平均成绩来了解整体学习水平。
- 局限性：易受极端值影响。如在数据集({1, 2, 3, 4, 100})中，均值为(22)，但大部分数据远低于此值。
中位数（Median）
- 定义：将数据按升序或降序排列后，位于中间位置的数值。如果数据个数为奇数，中位数就是中间的那个数；如果是偶数，则是中间两个数的平均值。对于数据集({1, 2, 3, 4, 5})，中位数是(3)；对于({1, 2, 3, 4})，中位数是(\frac{2 + 3}{2}=2.5)。
- 用途：当数据存在极端值时，能更好地反映数据的中心趋势。比如统计城市居民收入，少数高收入者拉高均值时，中位数更能体现中等收入水平。
众数（Mode）
- 定义：数据集中出现次数最多的数值。例如，在数据集({1, 2, 2, 3, 4})中，众数是(2)。
- 用途：适用于描述数据的一般情况，特别是对于分类数据。例如，统计服装销售中最受欢迎的尺码，众数尺码就是销售最多的尺码。
离散程度的描述性统计
极差（Range）
- 定义：用最大值减去最小值。在数据集({10, 20, 30, 40, 50})中，极差为(50 – 10 = 40)。
- 用途：简单直观地描述数据的离散范围。用于初步了解数据的波动程度，如比较不同产品质量指标的波动范围。
- 局限性：只考虑了两个端点的值，忽略中间数据的分布情况。
方差（Variance）
- 定义：计算每个数据与均值之差的平方和的平均数。公式为(s^{2}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n})（对于样本数据）。例如，对于数据集({1, 3, 5})，均值为(3)，方差为(\frac{(1 – 3)^{2}+(3 – 3)^{2}+(5 – 3)^{2}}{3}=\frac{8}{3})。
- 用途：衡量数据相对于均值的分散程度，方差越大，数据越分散。在质量控制、金融风险评估等领域应用广泛。
标准差（Standard Deviation）
- 定义：方差的平方根。如上述数据集({1, 3, 5})的标准差为(\sqrt{\frac{8}{3}})。
- 用途：与方差类似，但标准差的单位与原始数据相同，更直观地反映数据的离散程度。例如，在分析学生成绩的离散程度或股票价格波动时常用。
分布形态的描述性统计
偏度（Skewness）
- 定义：描述数据分布不对称程度的统计量。正偏态（右偏态）表示数据的长尾在右侧，即有少数较大的值；负偏态（左偏态）表示长尾在左侧，有少数较小的值。
- 用途：用于分析数据分布的形状。例如，收入数据通常呈正偏态，因为少数高收入者使分布右侧长尾较长，通过偏度可以了解这种不对称性。
峰度（Kurtosis）
- 定义：衡量数据分布在均值处峰值高低的统计量。与正态分布相比，超高峰度表示数据分布更尖峭，低峰度表示更平坦。
- 用途：在分析数据是否符合正态分布或比较不同数据集的分布形态时有用。例如，在金融市场分析中，峰度可以帮助评估资产价格波动的特性。
位置的描述性统计
四分位数（Quartiles）
- 定义：将数据分为四等份的三个数值，分别是第一四分位数（(Q_{1})，下四分位数）、第二四分位数（(Q_{2})，中位数）和第三四分位数（(Q_{3})，上四分位数）。例如，对于数据集({1, 3, 5, 7, 9, 11, 13})，(Q_{1}=3)，(Q_{2}=7)，(Q_{3}=11)。
- 用途：可以更详细地描述数据的分布情况。通过四分位距（(Q_{3}-Q_{1})）来衡量数据中间50%的离散程度，不受极端值影响，常用于制作箱线图展示数据分布。
百分位数（Percentiles）
- 定义：如果将一组数据从小到大排序后，某个百分位数(p)对应的数值是这样一个数：至少有(p%)的数据小于或等于这个数，且至少有((100 – p)%)的数据大于或等于这个数。例如，第90百分位数表示有90%的数据小于或等于这个数。
- 用途：在教育领域用于划分成绩等级，在医学领域用于评估生理指标在人群中的分布位置等。
计数的描述性统计
频数（Frequency）
- 定义：指某个数值或某个区间内的数据在数据集中出现的次数。例如，在数据集({1, 1, 2, 2, 2, 3})中，数值(1)的频数是(2)，数值(2)的频数是(3)，数值(3)的频数是(1)。
- 用途：用于制作频率分布表或直方图，直观展示数据的分布情况。例如，在市场调查中统计消费者对不同产品特性的选择频数。
频率（Frequency Ratio）
- 定义：某个数值或区间的频数除以数据总数得到的比例。对于上述数据集，数值(1)的频率是(\frac{2}{6})，数值(2)的频率是(\frac{3}{6})，数值(3)的频率是(\frac{1}{6})。
- 用途：用于将频数转换为相对比例，在概率估计和比较不同数据集的分布比例时很有用。例如，在选举民意调查中，频率可以估计不同候选人的支持比例。
