单尾检验的流程
明确研究问题和假设
确定研究问题：清晰地定义研究的问题，明确要探究的变量和方向。例如，研究一种新的营销活动是否能够增加产品的销售额。
- 提出假设：
原假设（$H_0$）：根据研究问题确定原假设。对于右尾检验（如上述营销活动是否增加销售额的例子），原假设通常是新营销活动没有增加销售额，即$\mu \leq \mu_0$，其中$\mu$是实施新营销活动后的总体平均销售额，$\mu_0$是未实施新营销活动时的平均销售额。对于左尾检验（如研究一种成本控制措施是否降低生产成本），原假设可能是新措施没有降低成本，即$\mu \geq \mu_0$，$\mu$是实施新措施后的总体平均成本，$\mu_0$是原成本。
备择假设（$H_1$）：与原假设相反，且体现研究的预期方向。右尾检验的备择假设是$\mu > \mu_0$，表明新营销活动增加了销售额；左尾检验的备择假设是$\mu < \mu_0$，表示新成本控制措施降低了成本。
选择合适的检验方法和收集数据
- 选择检验方法：根据数据类型、样本大小和分布等因素选择合适的假设检验方法。如果是大样本（$n\geq30$）且已知总体方差，对于均值的检验可以使用Z检验；如果是小样本（$n < 30$）且总体方差未知，通常使用T检验；对于分类变量的比例等情况，可能会用到卡方检验等。例如，在研究营销活动对销售额的影响时，如果有足够大的样本并且知道总体销售额的方差，可选择Z检验。
- 收集数据：按照研究设计收集相关的数据。确保数据的准确性和完整性。在营销活动案例中，收集实施新营销活动后的一段时间内（如一个月）的销售数据，包括每个销售记录的金额、销售时间等信息。
计算检验统计量
- 计算过程：根据所选的检验方法和收集的数据进行计算。以Z检验为例，如果是右尾检验，计算$Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，其中$\bar{X}$是样本均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。假设在营销活动案例中，样本均值销售额为$\bar{X} = 5500$元，原平均销售额$\mu_0 = 5000$元，总体标准差$\sigma = 500$，样本容量$n = 100$，则$Z = \frac{5500 – 5000}{\frac{500}{\sqrt{100}}} = 10$。
确定显著性水平并做出决策
- 确定显著性水平（$\alpha$）：这是预先设定的判断标准，通常取0.05或0.01等。例如，选择$\alpha = 0.05$。
- 做出决策（以右尾检验为例）：对于Z检验，查标准正态分布表得到右尾临界值$Z_{\alpha}$。当$\alpha = 0.05$时，$Z_{0.05} \approx 1.645$。如果计算出的$Z$统计量大于$Z_{\alpha}$，则拒绝原假设，支持备择假设。在上述营销活动案例中，$Z = 10 > 1.645$，所以拒绝原假设，即有足够的证据表明新营销活动显著增加了产品的销售额。对于左尾检验，则是比较计算出的统计量与左尾临界值（例如，当$\alpha = 0.05$时，左尾临界值约为 – 1.645），如果统计量小于左尾临界值，则拒绝原假设。
单尾检验案例
案例背景
- 某手机电池制造商研发了一种新的电池技术，声称可以延长手机电池的续航时间。目前该品牌手机电池的平均续航时间为5小时（$\mu_0$）。现在抽取了30块采用新技术的电池进行测试（$n = 30$），得到样本平均续航时间为5.3小时（$\bar{X}$），样本标准差为0.4小时（$S$）。
假设检验过程
明确假设：
- 原假设（$H_0$）：$\mu \leq 5$（新电池技术没有延长续航时间）
- 备择假设（$H_1$）：$\mu > 5$（新电池技术延长了续航时间），这是一个右尾检验。
- 选择检验方法：由于是小样本（$n = 30$）且总体方差未知，选择T检验。
- 计算检验统计量：$T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} = \frac{5.3 – 5}{\frac{0.4}{\sqrt{30}}} \approx 4.33$
- 确定显著性水平并做出决策：设定显著性水平$\alpha = 0.05$，自由度$df = n – 1 = 30 – 1 = 29$。查T分布表得到右尾临界值$T_{0.05,29} \approx 1.699$。由于$4.33 > 1.699$，所以拒绝原假设，即有足够的证据表明新电池技术显著延长了手机电池的续航时间。
