假设检验常见方法
Z检验
- 适用场景：主要用于大样本（通常样本量$n\geq30$）情况下，已知总体方差$\sigma^2$，对总体均值$\mu$进行假设检验。例如，已知某产品在市场上的总体满意度评分的方差，要检验从大量消费者（样本）中得到的平均满意度评分是否与总体均值相同。
- 原理与计算：将样本均值$\bar{X}$标准化为$Z$统计量，公式为$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$。假设总体均值为$\mu_0$，计算出$Z$值后，根据标准正态分布的性质进行判断。例如，若计算出$Z = 2$，在双侧检验中，可根据标准正态分布表查找对应的概率值。
T检验
- 适用场景：适用于小样本（$n < 30$）且总体方差未知的情况，用于检验样本均值与总体均值的差异，或者比较两组小样本的均值是否相等。要求样本来自正态分布总体。例如，在医学实验中，比较两种药物对少量患者的疗效，由于样本量小且总体方差通常未知，适合用T检验。
- 原理与计算（以单样本T检验为例）：因为总体方差未知，用样本方差$S^2$来估计。$T$统计量公式为$T = \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$。根据自由度$df = n – 1$和设定的显著性水平$\alpha$，查T分布表得到临界值进行判断。例如，样本容量$n = 20$，自由度为$19$，计算出$T = 3$，在双侧检验下，查找T分布表判断是否拒绝原假设。
卡方检验（$\chi^2$检验）
- 适用场景：用于检验分类变量之间是否存在关联，或者检验实际观察频数与理论期望频数是否一致。例如，分析不同年龄段（分类变量）与产品购买偏好（分类变量）之间是否有关联。
- 原理与计算（以独立性检验为例）：通过计算卡方统计量$\chi^2 = \sum\frac{(O – E)^2}{E}$，其中$O$是观察频数，$E$是期望频数。根据自由度$df=(r – 1)(c – 1)$（$r$为行数，$c$为列数）和显著性水平$\alpha$，查卡方分布表得到临界值。例如，对于一个$2\times3$的列联表，计算出卡方统计量后，根据自由度为$2$，查找卡方分布表进行判断。
F检验
- 适用场景：常用于方差分析（ANOVA）中，比较两组或多组数据的方差是否相等，也用于检验回归模型的显著性。例如，在比较不同生产工艺（多组）下产品质量的方差是否相同，或者评估回归模型中自变量对因变量的解释能力是否显著。
- 原理与计算（以方差分析中的F检验为例）：$F$统计量是组间方差与组内方差的比值。在单因素方差分析中，设$MSB$为组间均方（组间方差），$MSW$为组内均方（组内方差），则$F = \frac{MSB}{MSW}$。根据分子自由度（$df_1$，组间自由度）、分母自由度（$df_2$，组内自由度）和显著性水平$\alpha$，查F分布表得到临界值进行判断。
单尾和双尾检验
双尾检验
- 概念与原理：双尾检验是检验样本统计量与总体参数是否有显著差异，而不考虑差异的方向。它的原假设$H_0$通常是样本均值等于总体均值（$\mu = \mu_0$），备择假设$H_1$是样本均值不等于总体均值（$\mu \neq \mu_0$）。例如，在检验一种新的教学方法是否改变学生的平均成绩时，不管成绩是提高还是降低，只要与原来的平均成绩有显著差异，就拒绝原假设。
- 决策规则与应用场景：在给定显著性水平$\alpha$下，将$\alpha$平分到分布的两侧。如果计算出的统计量（如$Z$、$T$、$\chi^2$、$F$等）的绝对值大于相应分布的双侧临界值，就拒绝原假设。例如，在Z检验中，若$\alpha = 0.05$，双侧临界值为$\pm1.96$，当计算出的$|Z| > 1.96$时，拒绝原假设。适用于只关心是否有差异，而不关心差异方向的情况，如比较两种产品的质量是否有差异，不预先设定哪种产品质量更好。
单尾检验
- 概念与原理：单尾检验是关注样本统计量与总体参数在某一特定方向上的差异。分为左尾检验和右尾检验。左尾检验的原假设$H_0$一般是样本均值大于等于总体均值（$\mu \geq \mu_0$），备择假设$H_1$是样本均值小于总体均值（$\mu < \mu_0$）；右尾检验的原假设$H_0$是样本均值小于等于总体均值（$\mu \leq \mu_0$），备择假设$H_1$是样本均值大于总体均值（$\mu > \mu_0$）。例如，在检验一种新的减肥药物是否能降低体重时，只关心体重是否下降，这就是左尾检验。
- 决策规则与应用场景：在给定显著性水平$\alpha$下，只考虑分布的一侧。对于左尾检验，如果计算出的统计量小于相应分布的左尾临界值，就拒绝原假设；对于右尾检验，如果统计量大于右尾临界值，就拒绝原假设。例如，在T检验的右尾检验中，若$\alpha = 0.05$，自由度为$10$，右尾临界值约为$1.812$，当计算出的$T > 1.812$时，拒绝原假设。适用于有明确方向性预期的情况，如检验一种新的生产工艺是否能提高产品的产量，或者一种新的营销方案是否能增加销售额。
